(Frühling 2011)

Vakuumenergie: Energie aus dem Nichts?

Der Begriff Nullpunktsenergie taucht in parawissenschaftlichen Theorien auf (hier auch oft als: Nullpunktenergie) und wird als Energieform gesehen, die sozusagen überall vorhanden ist und unter Umständen nutzbar gemacht werden könnte. Ich möchte hier nicht auf spekulative Theorien eingehen oder eine Wertung dieser Theorien vornehmen.

Ich möchte einen Versuch machen, einen abstrakten Begriff aus der Quantenmechanik zu erklären - oder vielleicht besser: zu testen, ob und wie es möglich ist einen solchen Begriff (fast) ohne mathematische Konzepte zu veranschaulichen (Ich bin selbst skeptisch, was das betrifft).

Überblick

Formal ergibt sich die Nullpunktsenergie daraus, dass in der Beschreibung der Energie quantenmechanischer Zustände immer einen Ausdruck auftritt, der unabhängig davon ist, ob überhaupt eines der quantisierten Energieniveaus besetzt ist, d.h. unabhängig davon, ob sich »dort wirklich Teilchen befinden«. D.h. auch bei einer Temperatur gleich dem absoluten Nullpunkt gibt es »Energie«.

Diese Energie entsteht durch so genannte virtuelle Teilchen, die für kurze Zeit auftauchen und sofort wieder verschwinden. Man darf sich hier »Energie ausborgen aufgrund der Unschärferelation«. Was bedeutet das und wie kann man diese Argumentation begründen?

Zuerst muss man sich leider vom Konzept eines »Teilchens« komplett verabschieden - und zwar in weitaus umfassenderem Maße als es die (ohnehin schon »seltsamen«) Konzepte der nicht-relativistischen Quantenmechanik (Schrödinger-Gleichung) nahelegen. Eine Schrödingergleichung für ein Elektron oder ein Proton beschreibt eben immer noch ein Elektron oder ein Proton - und zu einem gewissen Grad kann man die Schrödinger'sche Wellenfunktion als verschmierte Wahrscheinlichkeitswolke darstellen - für die Wahrscheinlichkeit, diese eine Teilchen irgendwo zu finden. Die Teilchenanzahl wird hier stillschweigend als konstant angenommen.

Denkt man aber in relativistischen Kategorien, dann bedeutet eine Energieunschärfe größer als das berühmte m mal c zum Quadrat die Existenz oder Nicht-Existenz eines Teilchen (genauer: 2 mal diese Unschärfe ergibt ein Teilchenpaar). Denkt man also die Konsequenzen der Heisenberg'schen Unschärferelation plus die Äquivalenz von Energie und Masse zu Ende, entstehen virtuelle Teilchen »automatisch aus dem Vakuum«. In der fundamentaleren Quantenfeldthoerie ist ein einzelnes Teilchen eher eine Art lokale momentane Änderung des zugrunde liegenden Feldes - wie das Aufwallen der Wasseroberfläche in einem Topf mit kochendem Wasser.

Mathematisch beunruhigend an dieser Nullpunktsenergie erscheint nun, dass bei Vorhandensein vieler möglicher Zustände ein unendlich großer Ausdruck für die Energie entsteht. Bedingt durch die Zufälligkeit der Fluktationen virtueller Teilchen kann diese Energie aber nicht genutzt werden. Diese Unendlichkeit wird aber »relativiert« dadurch, dass man meist nur an einer Energiedifferenz, nicht an einer absoluten Energie interessiert ist bzw. der Begriff Energie per Definition nur als eine Differenz festgelegt wird (bis auf eine »Integrationskonstante der Bewegungsgleichung«).

Die Differenz zweier unendlicher Größen kann eine endliche Größe ergeben. Eine Berechnung der tatsächlichen Größe einer endlichen Kraft, die aus der Nullpunktsenergie entsteht, wurde von Casimir vorgenommen, seine Originalarbeit aus dem Jahr 1948 findet man hier:

On the attraction between two perfectly conducting plates. By H. B. G. Casimir

Quantisierung klassischer Systeme

Die Nullpunktsenergie ist (Definition!) die Energie eines Quantensystems, wenn alle Komponenten dieses Systems den jeweils niedrigsten Energiezustand einnehmen. In Quantensystemen können nur diskrete Energieniveaus besetzt werden (Grenzfall: freie Teilchen - kontinuierliche Zustände).

Dem untersten Energiezustand wird nicht unbedingt der Wert »Null« zugewiesen - die möglichen Werte der Energieniveaus ergeben sich aus der Lösung der quantenmechanischen Grundgleichungen (Eigenwertproblem). Das Paradebeispiel eine einfachen Systems ist immer der so genannte harmonische Oszillator: Eine Masse schwingt dadurch, dass die rücktreibende Kraft proportional zur Auslenkung ist.

Für einen harmonischen Oszillator (der der klassischen Bewegungsgleichung mit einer Kraft proportional zur Auslenkung folgt: md²/dt²(x) = -kx mit m...Masse, k...Federkonstante, x...Auslenkung, t...Zeit) beträgt der Wert der minimalen Energie

1/2 (Planck'sche Wirkungsquantum h quer) mal (Kreisfrequenz Omega)

Es handelt sich hier um eine punktförmige Masse am Ende eine idealisierten masselosen Feder.

Die Kreisfrequenz ergibt sich aus der Masse und der Federkonstante:

Omega = Wurzel aus (Federkonstante / Masse)

Je »stärker« die Feder ist und je leichter die Masse, umso höher die Frequenz.

Viele physikalische Systeme können durch einen harmonischen Oszillator angenähert werden, wenn die Auslenkung um die Ruhelage / Entfernung vom Nullpunkt klein ist. Die Begriffe Auslenkung, Masse, Federkraft sind durch jeweils andere charakteristische Größen zu ersetzen. Ein solcher Oszillator wird nun quantisiert, indem nur bestimmte Schwingungsfrequenzen zugelassen werden. In den Anfängen der Quantenmechanik wurde diese Bedingung als zusätzliche Einschränkung als weiteres Postulat angenommen; später konnte man zeigen, dass sich die Quantisierung aus neu formulierten physikalischen Grundgleichungen automatisch ergab.

Casimir betrachtet das klassische System eines Hohlraums, des von metallischen Platten begrenzt wird. Im Quantensystems eines Hohlraums, der von perfekten Metallplatten begrenzt. Dieser Hohlraum ist mit Photonen befüllt ist (Lichtquanten); die Quantisierung dadurch berücksichtigt, dass die Wellenlängen der möglichen Lichtwellen nur bestimmte diskrete Größen annehmen können.

Die Analogie zwischen Photonen in einem Hohlraum ist eventuell intuitiv klar und kann durch Bilder wie die Schwingung einer an einem oder beiden Enden eingeklemmten Gitarrenseite hergestellt werden. Eine exakte Ableitung ergibt sich aus der Quantisierung des Strahlungsfeldes (siehe z.B. diese Erklärung zur Quantisierung des elektromagnetischen Feldes). Die Quantenphysik ist damit nicht so sehr eine eigene Theorie als eine Art Vorgehensmodell, wie man aus einer klassischen Theorie ihr quantisiertes Gegenstück entwickeln kann. In diesem Fall wird das das klassische Modell beschrieben durch die Maxwell-schen Gleichungen der Elektrodynamik, Licht ergibt sich aus diesen Grundgleichungen zwanglos als elektromagnetische Welle. Die Quantisierung dieses Strahlungsfeldes führt nun auf die teilchenartige Struktur.

Minimale Energie des Zustandes ohne Teilchen

Die Nullpunktsenergie setzt sich aus den Beiträgen der minimalen Energie jedes möglichen Zustandes zusammen - diese Energie wird minimal, wenn zu dieser Frequenz gar keine Teilchen vorhanden sind. Für den einfachen harmonischen Oszillator ist diese Energie gleich [h quer] mal Omega. Für das System der leitenden Platten gleich der Summe über alle 1/1 mal h quer mal Omega wobei Omega hier alle möglichen Frequenzen annehmen kann.

Man kann diese von Null verschiedene Nullpunktsenergie auch als Konsequenz der Unschärferelation sehen. Auch am absoluten Nullpunkt bewegt sich das System im Potentialtopf (im Fall des harmonischen Osziallators: einer Parabel) so dass Ort und Impuls entsprechend der Unschärferelation jeweils nicht exakt messbar sind. Gleiches gilt für (die konjugierten Variablen) Energie und Zeit.

Casimir's Berechnung der Energie und Kraft

(Ergänzung 2011: eine detaillierte Erklärung der Ableitung in Englisch findet man hier.)

Casimir berechnet nun (S.61) die Energien des Systems mit und ohne Platte durch Abzählen der möglichen unterschiedlichen (Impuls-)Zustände. Jeder Zuständ unterschiedlicher Frequenz trägt mit der Nullpunktsenergie des harmonischen Oszillators zur Energie bei:

Zum Begriff des Wellenvektors k:
Der Betrag von k ist definiert als 2 mal Pi durch die Wellenlänge (für Strahlung und Wellen generell).
Die Richtung des Wellenvektor ist parallel zur Ausbreitungsrichtung der Lichtwelle.
Die »Schwingungskurve« (Sinus, Cosinus... prinzipiell eine beliebiege Kombination davon) muss zwischen die beiden Platten passen - der Abstand der beiden Platten L muss gleich dem Vielfachen der halben Wellenlänge sein (Stehende Wellen), also:

L = Faktor n mal (Wellenlänge / 2)

Einsetzen der Definition des Wellenvektors k liefert

L = Faktor n mal (Pi / k)

oder (siehe Casimir)

k = n mal Pi / L

Da es sich um eine Würfel handelt, gilt diese Überlegung für jede der Richtungen im dreidimensionalen Raum - daher lässt sich dieser Zusammenhang für die Komponente des Wellenvektors in den Richtungen x, y und z schreiben. Hinter der Zerlegung in diese drei Komponenten steckt das allgemeine Prinzip, dass sich jede Welle durch Basis-Komponenten in Form von Sinus- oder Cosinusschwingungen darstellen lässt (Stichwort hier z.B. Fouriertransformation). Es gäbe auch ander Basen, aber wählt jene, die auch mathematisch am besten zu handhaben ist, also bei der Betrachtung eines Würfels mit Kanten parallel x / y / z Elementarwellen parallel zu diesen Richtungen.

Der Wellenvektor einer Welle mit beliebiger Richtung ergibt sich aus der Vektoraddition der Komponenten parallel zu den Achsen (S. 61 ganz unten)

Casimir hat nun betrachtet, wie sich der Energieinhalt dieses Würfels durch Hinzufügen einer elektrisch leitenden Platte parallel zur xy-Ebene ändert. Diese Platte befindet sich im Abstand a zur xy-Ebene.

Folgende Punkte sind in der Ableitung wichtig

Sein Trick beruht darauf, dass er den Energieinhalt berechenbar macht, indem der Hohlraum als endlich groß angenommen wird (Länge L). Die Realität wird durch den Grenzfall L gegen unendlich angenähert. Damit wird der absolute Energieinhalt (für verschiedene Positionen der Platte) im Fall L gegen unendlich jeweils unendlich groß.
Und aus der Differenz der beiden Energien ergibt sich die wirkende Kraft nach dem Prinzip:
Energie = Kraft mal Weg.
oder: Kraft = Gradient der Potentialfunktion.
In jedem Fall ist Kraft immer resultierend aus der örtlichen Änderung von Energie. Ein System strebt immer den Zustand minimaler Energie an.
Die Differenz der beiden Energien allerdings ist proportional zur Fläche der Platte - L zum Quadrat. Die Kraft pro Fläche (ein »Druck«) ist damit unabhängig von der Größe des Hohlraums.

Der Summe über alle 1/2 [h quer] Omega wird unter Nutzung folgende Zusammenhänge vereinfacht:

Kreisfrequenz Omega = 2Pi mal Frequenz. Frequenz = Lichtgeschwindigkeit / Wellenlänge = c mal k / 2 Pi
Eingesetzt: Omega = 2Pi mal c mal k / 2Pi = c mal k
In der ersten Gleichung auf S.62 wurde die Summe bereits durch ein Integral ersetzt. Hier erfolgt der Übergang auf folgende Weise:
Abzählen nach n --> Übergang zum Integral mit Abständen dn
--> Übergang von dn zu dk nach Regeln der Differentiation: dn = L / Pi mal dk.
Somit kommt für die beiden als kontinierlich angenommenen Richtungen x und y ein Faktor L / Pi dazu, den man als konstanten Faktor auch aus dem Integral herausziehen kann.
Für die z-Richtung wird noch summiert und nicht integriert.
Die Beiträge für Wellen mit und ohne z-Anteil werden getrennt betrachtet: Ohne z-Anteil (kz = Null) wird ein Betrag in Höhe 1/2 mal (h quer) mal Omega gezählt. Ist kz ungleich Null ist der Beitrag doppelt so hoch, weil hier für jedes kx,kx,kz »zwei unterschiedliche stehende Wellen« existieren (siehe nächster Punkt).
Da hier - noch - kein Integral verwendet wird, müssen die möglichen Kombinationen wirklich abgezählt werden im Gegensatz zur Integration über kx und ky.
Die »zwei Wellen« entsprechen den beiden möglichen Polarisationsrichtungen normal zur Ausbreitungsrichtung. Zwei linear unabhängige Polariationsrichtungen sind nötig, um jede mögliche Polarisation zu beschreiben. Der fehlende Faktor 2 für den Fall, dass eine k-Komponente gleich Null ist, ist ein Spezialfall. Er ergibt sich daraus, dass eigentlich über alle negativen und positiven k summiert werden müsste. Ist eine der Komponenten Null, kann die Summation ersetzt werden durch eine Summe von Null bis Unendlich. Es müsste eigentlich eine bessere, anschaulichere Erklärung geben - die darauf beruht, dass die spezielle Geometrie in diesem Fall die zweite Polarisationsrichtung unmöglich macht.

Für die Berechnung der Kraft ist wichtig:

Die betrachteten Situationen sind: 1) Energie für Platte nahe der xy-Ebene, 2) Energie der Platte nahe der anderen Begrenzung des Hohlraums (bei z=L)

(Überarbeitet: Frühling 2011. Letzte große Änderung: Herbst 2009)