Mathematisches Konstrukt, unerwartet populär

Die Nullpunktsenergie wird auch als Vakummenergie bezeichnet und wird zum Teil als 'Energieform' gesehen, die sozusagen überall vorhanden ist und unter Umständen nutzbar gemacht werden könnte. Der Begriff wird z.B. in parawissenschaftlichen, aber auch in kosmologischen Therorien in spekulativer Form verwendet. Das stellt jetzt noch keine Wertung meinerseits dar, soll aber andeuten, dass es bei vielen Diskussionen rund um die Nullpunktsenergie nicht um eine mathematische Abhandlung oder strenge Herleitung handelt.

Mir geht es hier vor allem darum, zu versuchen, eine sehr abstrakten Begriff aus der Quantenmechanik 'verständlich' zu erklären. Eine Wertung von Theorien, die die Nullpunktsenergie in ihren Konzepten verwenden, möchte ich an dieser Stelle nicht vornehmen.

Formal ergibt sich die Nullpunktsenergie daraus, dass die Beschreibung der Energie quantenmechanischer Zustände immer einen Ausdruck enhält, der unabhängig davon ist, ob überhaupt eines der quantisierten Energieneveaus besetzt ist. D.h. auch bei einer Temperatur gleich dem absoluten Nullpunkt gibt es 'Energie'.

Mathematisch beunruhigend an dieser Nullpunktsenergie ist nun, dass bei Vorhandensein vieler Teilchen hier schnell ein unendlich großer Ausdruck für die Energie entsteht. Diese Unendichkeit hat aus meiner Sicht aber eher 'formalen' Charakter und kann durch entsprechende Methode 'gebändigt' werden. Eine Berechnung der tatsächlichen Größe einer Kraft, die aus der Nullpunktsenergie entsteh, wurde von Casimir vorgenommen, seine Originalarbeit aus dem Jahr 1948 findet man hier:

On the attraction between two perfectly conducting plates. By H. B. G. Casimir

Erläuterung zum Beweis von Casimir und weitere Details

(Grundlagen der Quantenmechanik, die die Basis der Arbeit von Casimir bilden, werden nur teilweise erläutert - sind aber in den meisten Quantenmechanik-Grundlagen-Büchern nachzulesen)

Die Nullpunktsenergie ist (Definition!) die Energie eines Quantensystems, wenn alle Komponenten dieses Systems den jeweils niedrigsten Energiezustand einnehmen. In Quantensystemen können nur diskrete Energieniveaus besetzt werden (siehe Literatur zu Quantenphysik-Grundlagen).

Dem untersten Energiezustand wird nicht unbedingt der Wert 'Null' zugewiesen - die möglichen Werte der Energieniveaus ergeben sich aus der Lösung der quantenmechanischen Grundgleichungen (Eigenwertproblem).

Für einen harmonischen Oszillator (der der klassischen Bewegungsgleichung mit einer Kraft proportional zur Auslenkung folgt: md²/dt²(x) = -kx mit m...Masse, k...Federkonstante, x...Auslenkung, t...Zeit) beträgt der Wert der minimalen Energie

1/2 (Planck'sche Wirkungsquantum h quer) mal (Kreisfrequenz Omega)

Es handelt sich hier um eine punktförmige Masse am Ende eine idealisierten 'masselosen' Feder.

Die Kreisfrequenz ergibt sich aus der Masse und der Federkonstante:

Omega = Wurzel aus (Federkonstante / Masse)

Je 'stärker' die Feder ist und je leichter die Masse, umso höher die Frequenz.

Man kann die von Null verschiedene 'Nullpunktsenergie' auch als Konsequenz der Unschärferelation sehen. Auch am absoluten Nullpunkt bewegt sich das System im Potentialtopf (im Fall des harmonischen Osziallators: einer Parabel) so dass Ort und Impuls entsprechend der Unschärferelation nicht gleichzeitig messbar sind. Gleiches gilt für (die konjugierten Variablen) Energie und Zeit.

Im Quantensystems eines Hohlraums, der idealerweise von perfekten Metallplatten begrenzt wird und mit Photonen 'befüllt' ist (Lichtquanten), setzt sich die Nullpunktsenergie aus den Beiträgen jedes Photons zusammen - der Summe über alle 1/1 mal h quer mal Omega wobei Omega hier alle möglichen Frequenzen annehmen kann.

Die Analogie zwischen Photonen in einem Hohlraum ist eventuell 'in etwa' intuitiv klar und kann durch Bilder wie die Schwingung einer an einem oder beiden Enden eingeklemmten Gitarrenseite hergestellt werden. Eine exakte Ableitung ergibt sich aus der 'Quantisierung des Strahlungsfeldes'.

Casimir berechnet nun (S.61) die möglichen Frequenzen durch 'Abzählen':

Begriff Wellenvektor k: k ist definiert als 2 mal Pi durch die Wellenlänge (für Strahlung und Wellen generell). Der Wellenvektor ist zusätzlich wirklich ein Vektor parallel zur Ausbreitungsrichtung der Lichtwelle.
Die 'Schwingunskurve' (Sinus, Cosinus... prinzipiell eine beliebiege Kombination davon) muss zwischen die beiden Platten passen - der Abstand der beiden Platten L muss gleich dem Vielfachen der halben Wellenlänge sein ('stehende Wellen'), also:

L = Faktor n mal (Wellenlänge / 2)

Einsetzen der Definition des Wellenvektors k liefert

L = Faktor n mal (Pi / k)

oder (siehe Casimir)

k = n mal Pi / L

Da es sich um eine Würfel handelt, gilt diese Überlegung für jede der Richtungen im dreidimensionelan Raum - daher lässt sich dieser Zusammenhang für die Komponente des Wellenvektors in den Richtungen x, y und z hinschreiben. Hinter der Zerlegung in diese drei Komponenten steckt das allgemeine Prinzip, dass sich jede Welle durch 'Basis-Komponenten' in Form von Sinus- oder Cosinusschwingungen darstellen lässt (Stichwort hier z.B. Fouriertransformation). Es gäbe auch ander 'Basen', aber wählt jene, die auch mathematisch am besten zu handhaben ist, also bei der Betrachtung eines Würfels mit Kanten parallel x / y / z 'Elementarwellen' parallel zu diesen Richtungen.

Der Wellenvektor einer Welle mit beliebiger Richtung ergibt sich aus der Raumdiagonale / Vektoradition (S. 61 ganz unten)

Casimir hat nun betrachtet, wie sich der Energieinhalt dieses Würfels durch Hinzufügen einer elektrisch leitenden Platte parallel zur xy-Ebene ändert. Diese Platte befindet sich im Abstand a zur xy-Ebene.

Folgende Punkte sind in der Ableitung wichtig

Sein 'Trick' beruht darauf, dass er den Energieinhalt berechenbar macht, indem er Hohlraum als unendlich groß angenommen wird (L gegen unendlich). Damit wird der absolute Energieinhalt (mit oder ohne zusätzliche Platte) jeweils unendlich groß.
Die Differenz der beiden Energien allerdings bliebt endlich (was am Ende des Beweises klar wird)., wenn bzw. weil die Platte an einem Ort nahe der xy-Ebene, also in endlicher Entfernung von der xy-Ebene eingefügt wird.
Und aus der Differenz der beiden Energien ergibt sich die wirkende Kraft. Sehr vereinfacht gesprochen: Energie = Kraft mal Weg. Oder: Kraft = Gradient der Potentialfunktion. In jedem Fall ist Kraft immer resultierend aus der örtlichen Änderung von Energie. Ein System strebt immer den Zustand minimaler Energie an.

Der Summe über alle 1/2 h quer Omega wird unter Nutzung folgende Zusammenhänge vereinfacht:

Kreisfrequenz Omega = 2Pi mal Frequenz. Frequenz = Lichtgeschwindigkeit / Wellenlänge = c mal k / 2 Pi
Eingesetzt: Omega = 2Pi mal c mal k / 2Pi = c mal k
In der ersten Gleichung auf S.62 wurde die Summe bereits durch ein Integral ersetzt. Hier erfolgt der Übergang auf folgende Weise: Abzählen nach n --> Übergang zum Integral mit 'Abständen' dn --> Übergang von dn zu dk nach Regeln der Differentiation: dn = L / Pi mal dk. Somit kommt für die beiden als kontinierlich angenommenen Richtungen x und y ein Faktor L / Pi dazu, den man als konstanten Faktor auch aus dem Integral herausziehen kann.
Für die z-Richtung wird noch summiert und nicht integriert.
Die Beiträge für Wellen mit und ohne z-Anteil werden getrennt betrachtet: Ohne z-Anteil (kz = Null) wird ein Betrag in Höhe 1/2 mal (h quer) mal Omega gezählt. Ist kz ungleich Null ist der Beitrag doppelt so hoch, weil hier für jedes kx,kx,kz zwei unterschiedliche stehende Wellen existieren (da hier - noch - kein Integral verwendet wird, müssen die möglichen Kombinationen wirklich abgezählt werden im Gegensatz zur Integration über kx und ky).

(Letzte Änderung Herbst 2009)